1.8

ЭВОЛЮЦИЯ ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Т.В. КИЛОЧИЦКАЯ

https://orcid.org/0000-0003-4471-0904

Nauka naukozn. 2019, 4(106): 102-115

https://doi.org/10.15407/sofs2019.04.102

Рубрика: История науки и техники

Язык: Украинский

Аннотация: В статье рассмотрена предыстория эргодической теории, пути развития комплекса понятий и идей, которые привели к формированию и развитию этой теории. Проанализировано открытие из эргодической теории динамических систем А.М. Колмогорова, его учеников и последователей. Показана роль украинских ученых М.М. Боголюбова и М.М. Крылова в формировании этой теории. Рассмотрены труды харьковской школы по эргодической теории. Проанализированы основные направления исследований и работ выдающихся ученых, связанные с развитием эргодической теории. Продемонстрировано, что эргодическая теория возникла при попытке получить макроскопическое описание физических систем исходя из микроскопического описания с помощью уравнений движения; применение эргодической теории к обоснованию статистической физики свелось к задаче установления метрической транзитивности; эргодические теоремы дают возможность рассматривать предельные часовые средние или часовые средние на бесконечном промежутке времени, то есть имеет место регулярность поведения динамических систем, которое связано с усреднением.

Ключевые слова: эргодичность, эргодическая теория, эргодическая гипотеза, динамическая система, инвариантная мера.

 Список литературы:

  1. Bogoliouboff N. Sur l’approximation trigonometriques des fonctions dans l’intervalle infini. Известия АН СССР. 1931. № 1/2. С. 23—54.
  2. Fermi E. Beweis dass ein Mechnisches Normalsystem in Allgemeinen Quasi-ergodisch ist. Phys. Zs. 1923. B. 24. S. 261—265.
  3. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний. К.: Изд-во ВУАН, 1934. 108 с.
  4. Kryloff N., Bogoliouboff N. La théorie génèrale de la mesure dans son applications a l’étude des système dynamiques de la mécanique non linéaire. Ann. Math. 1937. Vol. 38. P. 65—113. https://doi.org/10.2307/1968511
  5. Крилов М.М., Боголюбов М.М. Загальна теорія міри в нелінійній механіці. Збірник праць з нелінійної механіки. К.: Вид-во АН УРСР, 1937. С. 55—112.
  6. Колмогоров А.Н. Упрощенное доказательство эргодической теоремы Биркгофа — Хинчина. Успехи математических наук. 1938. № 5. С. 52—56.
  7. Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега. ДАН СССР. 1958. Т. 119. Вып. 5. С. 861—864.
  8. Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов. ДАН СССР. 1959. Т. 124. Вып. 4. С. 754—755.
  9. Синай Я. Г. О понятии энтропии динамической системы. ДАН СССР. 1959. Т. 124. Вып. 4. С. 768—771.
  10. Абрамов Л.М., Синай Я.Г. О семинаре по метрической теории динамических систем в МГУ под руководством В.А. Рохлина. Успехи математических наук. 1959. Т. 14. Вып. 6(90). С. 223—225.
  11. Рохлин В.А. Избранные работы. Воспоминания о Рохлине. Материалы к биографии. МЦНМО, 2010. 572 c.
  12. Синай Я.Г. К обоснованию эргодической гипотезы для одной динамической системы статистической механики. ДАН СССР. 1963. Т. 153. № 6. С. 1261—1264.
  13. Синай Я.Г. Классические динамические системы со счетнократным лебеговским спектром. II. Известия АН СССР. Серия математическая. 1966. Т. 30. № 1. С. 1568.
  14. Синай Я.Г. Динамические системы с упругими отражениями. Успехи математических наук. 1970. Т. 25. Вып. 4. С. 141—192.
  15. Орнстейн Д. Эргодическая теория, случайность и динамические системы. М.: Мир, 1978. 168 с.
  16. Adler R.L., Konheim A.G., Andrew Мс. Topological entropy. Мс. Andrew — Trans. AMS., 1965. 114-309-319. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1965-0175106-9
  17. Riecan В. Abstract entropy. Acta F.R.N. Univ. Comen. — Mat. 1974. P. 55—67.
  18. Отокар Грошек. Энтропия на алгебраических структурах. Mathematica Slovaca. 1979. Vol. 29. No 4. P. 411—424.
  19. Bratteli O. Inductive limits of finite-dimensional C*-algebras. Trans. Am. Math. Soc. 1972. № 171. P. 195—234. https://doi.org/10.2307/1996380
  20. Вершик А. М. Теорема о марковской периодической аппроксимации в эргодической теории. Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1982. Т. 115. С. 72—82.
  21. Herman R.H., Putnam I., Skau C. Ordered Bratteli diagrams, dimension groups, and topological dynamics. Int. J. Math. 1992. Vol. 3. P. 827—864. https://doi.org/10.1142/S0129167X92000382
  22. Medynets K. Cantor aperiodic systems and Bratteli diagrams. Comptes Rendus Mathematique. 2006. Vol. 342. Issue 1. P. 43—46. https://doi.org/10.1016/j.crma.2005.10.024
  23. Oxtoby J.C., Ulam S.M. Measure preserving homeomorphisms and metrical transitivity. Ann. Math. (2). 1941. Vol. 42. P. 874—920. https://doi.org/10.2307/1968772
  24. Alpern S., Prasad V.S. Typical Dynamics of Volume Preserving Homeomorphisms. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. 240 p. https://doi.org/10.1017/CBO9780511543180
  25. Navarro-Bermudez F.J. Topologically equivalent measures in the Cantor space. Proc. Am. Math. Soc. 1979. Vol. 77. P. 229—236. https://doi.org/10.2307/2042644
  26. Akin E., Dougherty R., Mauldin R.D., Yingst A. Which Bernoulli measures are good measures? Colloq. Math. 2008. Vol. 110. P. 243—291. https://doi.org/10.4064/cm110-2-2
  27. Austin T.D. A pair of non-homeomorphic product measures on the Cantor set. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 2007. Vol. 142. P. 103—110. https://doi.org/10.1017/S0305004106009741
  28. Giordano T., Putnam I., Skau C. Topological orbit equivalence and C*-crossed products. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1995. Vol. 469, Р. 51—112. https://doi.org/10.1515/crll.1995.469.51
  29. Durand F., Host B., Skau C. Substitutional dynamical systems. Bratteli diagrams and dimension groups. Ergodic Theory and Dynamical Systems. 1999. Vol. 19. P. 953—993. https://doi.org/10.1017/S0143385799133947
  30. Bezuglyi S., Kwiatkowski J., Medynets K. Aperiodic substitution systems and their Bratteli diagrams. Ergodic Theory and Dynamical Systems. 2009. Vol. 29. No 1. P. 37—72. https://doi.org/10.1017/S0143385708000230
  31. Akin E. Good Measures on Cantor space. Transactions of the American Mathematical Society. 2005. Vol. 357. No 7. P. 2681—2722. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-04-03524-X
  32. Karpel O. Infinite measures on Cantor spaces. Journal of Difference Equations and Applications. 2012. Vol. 18(4), P. 703—720. https://doi.org/10.1080/10236198.2011.620955
  33. Karpel O. Good measures on locally compact Cantor sets. J. Math. Phys. Anal. Geom. 2012. Vol. 8, No 3. P. 260—279.
  34. Bezuglyi S., Karpel O. Orbit Equivalent Substitution Dynamical Systems and Complexity. Proceedings of the American Mathematical Society. 2014. Vol. 142. P. 4155—4169. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2014-12139-3
  35. Bezuglyi S., Karpel O., Kwiatkowski J. Subdiagrams of Bratteli diagrams supporting finite invariant measures. J. Math. Phys. Anal. Geom. 2015. Vol. 11. No 1. P. 3—17. https://doi.org/10.15407/mag11.01.003

Полный текст (PDF)