1.8

ЕВОЛЮЦІЯ ЕРГОДИЧНОЇ ТЕОРІЇ

Т.В. КІЛОЧИЦЬКА

https://orcid.org/0000-0003-4471-0904

Nauka naukozn. 2019, 4(106): 102-115

https://doi.org/10.15407/sofs2019.04.102

Рубрика: Історія науки і техніки

Мова: Українська

Анотація: В статті розглянуто передісторію ергодичної теорії, шляхи розвитку комплексу понять та ідей, які привели до формування і розвитку цієї теорії. Проаналізовано відкриття з ергодичної теорії динамічних систем А.М. Колмогорова, його учнів та послідовників. Показано роль українських вчених М.М. Боголюбова та М.М. Крилова у формуванні цієї теорії. Розглянуто праці харківської школи з ергодичної теорії. Проаналізовано основні напрями досліджень та праці видатних вчених, пов’язані з розвитком ергодичної теорії. Продемонстровано, що ергодична теорія виникла при спробі отримати макроскопічний опис фізичних систем виходячи з мікроскопічного опису за допомогою рівнянь руху; застосування ергодичної теорії до обґрунтування статистичної фізики звелось до задачі встановлення метричної транзитивності; ергодичні теореми дають можливість розглядати граничні часові середні або часові середні на нескінченному проміжку часу, тобто має місце регулярність поведінки динамічних систем, яка пов’язана з усередненням.

Ключові слова: ергодичність, ергодична теорія, ергодична гіпотеза, динамічна система, інваріантна міра.

 

Посилання:

1.Bogoliouboff N. Sur l’approximation trigonometriques des fonctions dans l’intervalle infini. Известия АН СССР. 1931. № 1/2. С. 23—54.

2.Fermi E. Beweis dass ein Mechnisches Normalsystem in Allgemeinen Quasi-ergodisch ist. Phys. Zs. 1923. B. 24. S. 261—265.

3.Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний. К.: Изд-во ВУАН, 1934. 108 с.

4.Kryloff N., Bogoliouboff N. La théorie génèrale de la mesure dans son applications a l’étude des système dynamiques de la mécanique non linéaire. Ann. Math. 1937. Vol. 38. P. 65—113. https://doi.org/10.2307/1968511

5.Крилов М.М., Боголюбов М.М. Загальна теорія міри в нелінійній механіці. Збірник праць з нелінійної механіки. К.: Вид-во АН УРСР, 1937. С. 55—112.

6.Колмогоров А.Н. Упрощенное доказательство эргодической теоремы Биркгофа — Хинчина. Успехи математических наук. 1938. № 5. С. 52—56.

7.Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега. ДАН СССР. 1958. Т. 119. Вып. 5. С. 861—864.

8.Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов. ДАН СССР. 1959. Т. 124. Вып. 4. С. 754—755.

9.Синай Я. Г. О понятии энтропии динамической системы. ДАН СССР. 1959. Т. 124. Вып. 4. С. 768—771.

10.Абрамов Л.М., Синай Я.Г. О семинаре по метрической теории динамических систем в МГУ под руководством В.А. Рохлина. Успехи математических наук. 1959. Т. 14. Вып. 6(90). С. 223—225.

11.Рохлин В.А. Избранные работы. Воспоминания о Рохлине. Материалы к биографии. МЦНМО, 2010. 572 c.

12.Синай Я.Г. К обоснованию эргодической гипотезы для одной динамической системы статистической механики. ДАН СССР. 1963. Т. 153. № 6. С. 1261—1264.

13.Синай Я.Г. Классические динамические системы со счетнократным лебеговским спектром. II. Известия АН СССР. Серия математическая. 1966. Т. 30. № 1. С. 1568.

14.Синай Я.Г. Динамические системы с упругими отражениями. Успехи математических наук. 1970. Т. 25. Вып. 4. С. 141—192.

15.Орнстейн Д. Эргодическая теория, случайность и динамические системы. М.: Мир, 1978. 168 с.

16.Adler R.L., Konheim A.G., Andrew Мс. Topological entropy. Мс. Andrew — Trans. AMS., 1965. 114-309-319. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1965-0175106-9

17.Riecan В. Abstract entropy. Acta F.R.N. Univ. Comen. — Mat. 1974. P. 55—67.

18.Отокар Грошек. Энтропия на алгебраических структурах. Mathematica Slovaca. 1979. Vol. 29. No 4. P. 411—424.

19.Bratteli O. Inductive limits of finite-dimensional C*-algebras. Trans. Am. Math. Soc. 1972. № 171. P. 195—234. https://doi.org/10.2307/1996380

20.Вершик А. М. Теорема о марковской периодической аппроксимации в эргодической теории. Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1982. Т. 115. С. 72—82.

21.Herman R.H., Putnam I., Skau C. Ordered Bratteli diagrams, dimension groups, and topological dynamics. Int. J. Math. 1992. Vol. 3. P. 827—864. https://doi.org/10.1142/S0129167X92000382

22.Medynets K. Cantor aperiodic systems and Bratteli diagrams. Comptes Rendus Mathematique. 2006. Vol. 342. Issue 1. P. 43—46. https://doi.org/10.1016/j.crma.2005.10.024

23.Oxtoby J.C., Ulam S.M. Measure preserving homeomorphisms and metrical transitivity. Ann. Math. (2). 1941. Vol. 42. P. 874—920. https://doi.org/10.2307/1968772

24.Alpern S., Prasad V.S. Typical Dynamics of Volume Preserving Homeomorphisms. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. 240 p. https://doi.org/10.1017/CBO9780511543180

25.Navarro-Bermudez F.J. Topologically equivalent measures in the Cantor space. Proc. Am. Math. Soc. 1979. Vol. 77. P. 229—236. https://doi.org/10.2307/2042644

26.Akin E., Dougherty R., Mauldin R.D., Yingst A. Which Bernoulli measures are good measures? Colloq. Math. 2008. Vol. 110. P. 243—291. https://doi.org/10.4064/cm110-2-2

27.Austin T.D. A pair of non-homeomorphic product measures on the Cantor set. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 2007. Vol. 142. P. 103—110. https://doi.org/10.1017/S0305004106009741

28.Giordano T., Putnam I., Skau C. Topological orbit equivalence and C*-crossed products. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1995. Vol. 469, Р. 51—112. https://doi.org/10.1515/crll.1995.469.51

29.Durand F., Host B., Skau C. Substitutional dynamical systems. Bratteli diagrams and dimension groups. Ergodic Theory and Dynamical Systems. 1999. Vol. 19. P. 953—993. https://doi.org/10.1017/S0143385799133947

30.Bezuglyi S., Kwiatkowski J., Medynets K. Aperiodic substitution systems and their Bratteli diagrams. Ergodic Theory and Dynamical Systems. 2009. Vol. 29. No 1. P. 37—72. https://doi.org/10.1017/S0143385708000230

31.Akin E. Good Measures on Cantor space. Transactions of the American Mathematical Society. 2005. Vol. 357. No 7. P. 2681—2722. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-04-03524-X

32.Karpel O. Infinite measures on Cantor spaces. Journal of Difference Equations and Applications. 2012. Vol. 18(4), P. 703—720. https://doi.org/10.1080/10236198.2011.620955

33.Karpel O. Good measures on locally compact Cantor sets. J. Math. Phys. Anal. Geom. 2012. Vol. 8, No 3. P. 260—279.

34.Bezuglyi S., Karpel O. Orbit Equivalent Substitution Dynamical Systems and Complexity. Proceedings of the American Mathematical Society. 2014. Vol. 142. P. 4155—4169. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2014-12139-3

35.Bezuglyi S., Karpel O., Kwiatkowski J. Subdiagrams of Bratteli diagrams supporting finite invariant measures. J. Math. Phys. Anal. Geom. 2015. Vol. 11. No 1. P. 3—17. https://doi.org/10.15407/mag11.01.003

Повний текст (PDF)